Dizemos que um número é múltiplo de outro quando o primeiro é resultado da multiplicação entre o segundo e algum número natural. Nesse mesmo caso, também é possível dizer que o segundo é divisor do primeiro.
Em outras palavras, dados os números x e y, dizemos que x é múltiplo de y se existir algum número natural n tal que:
x = y·n
Se esse número existir, podemos dizer que y é um divisor de x e podemos escrever:
x = n
y
y
Dessa maneira, um bom teste para descobrir se um número qualquer y é divisor de outro número x é observar o resultado da divisão de x por y. Se o resultado for exato, y é divisor de x.
Por exemplo: 70 é múltiplo de 2, pois o número natural 35 multiplicado por 2 tem 70 como resultado. Em outras palavras:
70 = 2·35
Também podemos afirmar que 10 é divisor de 70, pois
70 = 7
10
10
Múltiplos de um número natural
O conjunto que contém os múltiplos de um número natural é um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Isso acontece porque os múltiplos são obtidos ao multiplicar o número em questão por todos os números naturais. Assim, o conjunto dos múltiplos do número 2 pode ser obtido da seguinte maneira:
2·0 = 0
2·1 = 2
2·2 = 4
2·3 = 6
…
Esses resultados podem ser escritos na notação de conjuntos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, …}
Esses resultados são conhecidos como conjunto dos números pares.
Observe que é possível listar os múltiplos de um número qualquer realizando um procedimento exatamente igual ao de construir a tabuada daquele número.
Divisores de um número natural
Já, o conjunto dos divisores de um número natural é um subconjunto finito dos números naturais. Isso acontece em virtude de alguns resultados diretos da definição de divisores:
a) O número 1 sempre é o menor divisor de qualquer número natural;
b) O próprio número sempre é o seu maior divisor;
c) Zero não é divisor de nenhum número.
Como existe um “maior elemento” no conjunto dos divisores de um número natural qualquer, esse conjunto é finito.
Para encontrar os divisores de um número natural, é necessário dividir esse número por todos os naturais menores que ele. Assim, os divisores do número 48, por exemplo, são:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48
Dizemos que o número 48 é divisível por qualquer elemento da lista acima.
Muitas vezes não é necessário realizar a divisão para saber se um número é divisível (ou divisor de) por outro.
Números primos
São números primos aqueles que não são divisíveis por nenhum número natural, exceto 1 e o próprio número. Lembre-se de que qualquer número é divisível por 1 e por ele mesmo, mas nem sempre existe outro divisor para esse número. Por exemplo: o número 2 é divisível apenas por 1 e pelo próprio 2.
2 = 2
1
1
2 = 1
2
2
O conjunto dos números primos também é infinito. Contudo, quanto maior o número natural, menor a probabilidade de ele ser primo.
O procedimento usado para garantir que um número é primo é tentativa e erro. É necessário dividir um número por todos os naturais menores que ele para comprovar que ele é primo.
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